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σell(k)=(2l+1)πk2Sl(k)12σabsl(k)=(2l+1)πk2(1Sl(k)2)\sigma_{el}^l(k)=\frac{(2l+1)\pi}{k^2}|S_l(k)-1|^2\\ \sigma_{abs}^l(k)=\frac{(2l+1)\pi}{k^2}(1-|S_l(k)|^2)

ポテンシャルが1/r21/r^2より早く0に収束する形の場合、シュレディンガー方程式の一般解は2つの解の線形結合で表現できる。

ul(r)rAuls(kr)+Bulc(kr)sin(krlπ2+δl)u_l(r)\propto^{r\to \infty} Au_l^s(kr)+Bu_l^c(kr)\propto \sin{(kr-l\frac{\pi}{2}+\delta_l)}

δl\delta_lが位相差で、いわゆるどれくらい波が変化したかの指標。

散乱の波動関数は入射してくる平面波と散乱される球面波の重ね合わせとして表現される。

ψ=eikz+f(θ,ϕ)eikrr\psi=e^{ikz}+f(\theta, \phi)\frac{e^{ikr}}{r}

この第一項、eikze^{ikz}も部分波展開することができ、

eikz=l=0(2l+1)iljl(kr)Pl(cosθ)e^{ikz} = \sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)i^lj_l(kr)P_l(\cos\theta)

と表現される。

第二項では

f(θ)=l=0flPl(cosθ)f(\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}f_lP_l(\cos\theta)

と表現される。