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Nondimensionalization Lenard-Jones Potential

October 27, 2020

前回までは非常にシンプルな形であったが、もう少し複雑なポテンシャルでの散乱を考えよう。 レナード・ジョーンズポテンシャルが以下のように与えられている。

VLJ(r)=C12r12C6r6(1)V_{LJ}(r) = \frac{C_{12}}{r^{12}}-\frac{C_{6}}{r^6} \tag{1}

上式を無次元化パラメーターrminr_{min}を用いて無次元化する。rminr_{min}はポテンシャルの最小値の位置で値はrmin=(2C12/C6)1/6r_{min} = (2C_{12}/C_6)^{1/6}である。(検算してみればすぐにわかる)。

r~=rrmin(2)\tilde{r} = \frac{r}{r_{min}} \tag{2}

として(2)式を(1)式に代入する。

VLJ(r)=C12rmin12r~12C6rmin6r~6C12rmin12=C624C12ϵC6rmin6=C62C12=2ϵ(3)V_{LJ}(r) = \frac{C_{12}}{r_{min}^{12} \tilde{r}^{12}} - \frac{C_{6}}{r_{min}^6 \tilde{r}^6} \tag{3}\\ \frac{C_{12}}{r_{min}^{12}} = \frac{C_6^2}{4C_{12}} \equiv \epsilon \\ \frac{C_{6}}{r_{min}^6} = \frac{C_6^2}{C_{12}} = 2\epsilon

よってひとまず無次元化されたレナード・ジョーンズポテンシャルが以下のように求まる。

VLJ(r)=ϵ[(1r~)122(1r~)6](4)V_{LJ}(r) = \epsilon\left[ \left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^{12} -2\left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^6 \right] \tag{4}

無次元化したパラメーターはr~\tilde{r}だけであることに注意。ポテンシャルエネルギーも無次元化したければVLJ~=VLJ/ϵ\tilde{V_{LJ}} = V_{LJ}/\epsilonとすればいい。 ここでϵ=VLJ(rmin)\epsilon=V_{LJ}(r_{min})となっているいことが確認できる。rminr_{min}で無次元化したわけだからポテンシャルエネルギーもrminr_{min}での値が基本単位となっているのだろうか。この要領で有効ポテンシャルVeffV_{eff}も無次元化する。

Veff(r)=VLJ(r)+Vcent(r)=ϵ[(1r~)122(1r~)6+L22μϵr2]=ϵ[(1r~)122(1r~)6+L22μϵrmin2r2]=ϵ[(1r~)122(1r~)6+Λ2(1r~)2](5)V_{eff}(r) = V_{LJ}(r) + V_{cent}(r)\\ =\epsilon\left[ \left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^{12} -2\left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^6 + \frac{L^2}{2\mu \epsilon r^2}\right]\\ = \epsilon\left[ \left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^{12} -2\left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^6 + \frac{L^2}{2\mu \epsilon r_{min}^2r^2}\right]\\ = \epsilon\left[ \left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^{12} -2\left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^6 + \Lambda^2\left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^2\right] \tag{5}

ここで、ΛLrmin2μϵ\Lambda \equiv \frac{L}{r_{min}\sqrt{2\mu \epsilon}}という角運動量を再定義した。

改めて書き直すと

Veff(r)=ϵ[(1r~)122(1r~)6+Λ2(1r~)2](6)V_{eff}(r) = \epsilon\left[ \left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^{12} -2\left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^6 + \Lambda^2\left(\frac{1}{\tilde{r}}\right)^2\right] \tag{6}

のようになる。

プロットは以下のようになる。各ラムダでの様子を示している。Λ2=0\Lambda^2=0は中心力ポテンシャルVcent(r)V_{cent}(r)がない場合を示している。

effective-potential-for-four-values-of-lambda